Préparez la pâte levée : dans la cuve d’un robot équipé du crochet pétrisseur, versez tous les ingrédients de la pâte. Pétrissez pendant une dizaine de minutes sur la première position du robot.

Mettez la pâte dans un saladier huilé, recouvrez d’un torchon propre et laissez lever 1h30 dans le four éteint.

Entre-temps, préparez la garniture : dans un saladier, mélangez le cheddar, l’emmental râpé, la feta émiettée, le fromage de chèvre, 1 œuf. Malaxez avec les mains.

Divisez la pâte obtenue en 2 boules, enveloppez-les de film alimentaire, puis placez-les env. 20 min au congélateur.

Lorsque la pâte a levé, saupoudrez-la d’un peu de farine, puis dégazez-la avec le poing.

Divisez la pâte en 2 parts égales, puis disposez-les sur 2 feuilles de papier cuisson légèrement farinées.

Formez un khachapuri imérouli (une galette fermée) : avec les mains – et éventuellement un rouleau à pâtisserie –, aplatissez une boule afin d’obtenir un disque d’environ 25 cm de diamètre. Déposez une boule de fromage au centre, puis ramenez la pâte au sommet.

Farinez la pâte, puis aplatissez-la avec les mains et le rouleau à pâtisserie, afin d’obtenir une galette d’env. 1 cm d’épaisseur. Dorez la surface du pain au jaune d’œuf à l’aide d’un pinceau alimentaire. Parsemez la surface d'emmental râpé.

Formez un khachapuri adjarouli (version ouverte, à la manière d’une pizza) : avec les mains et éventuellement un rouleau à pâtisserie, aplatissez une boule afin d’obtenir un disque. Rabattez les bords sur env. 2 à 3 cm, en donnant au khachapuri une forme ovale. Nouez les 2 extrémités en pointe.

Disposez la boule de fromage restante dans un saladier et détendez-la en l’écrasant à la fourchette avec un fond de verre d’eau.

À l’aide d’une spatule, étalez la crème de fromage sur toute la surface, sans oublier de faire un puits au milieu.

Dans le four préchauffé à 250 °C à chaleur tournante, glissez les 2 khatchapuris pour une dizaine de minutes – ou successivement, si votre four ne peut contenir les 2 pièces à la fois fois. Lorsque les bords du khatchapuri adjarouli commencent à dorer, cassez un œuf et posez-le au centre.